La razón de la sinrazón

"In love with whole numbers, the Pythagoreans believed all things could be derived from them, certainly all other numbers. A crisis in doctrine arose when they discovered that the square root of two (the ratio of the diagonal to the side of a square) was irrational, that it cannot be expressed accurately as the ratio of any two whole numbers, no matter how big these numbers are. Ironically this discovery (reproduced in Appendix 1) was made with the Pythagorean theorem as a tool. ‘Irrational’ originally meant only that a number could not be expressed as a ratio. But for the Pythagoreans it came to mean something threatening, a hint that their world view might not make sense, which is today the other meaning of  ‘irrational.’." 

Carl Sagan, en COSMOS, Random House, New York, 1980.

En este fragmento Sagan hace referencia al descubrimiento de la irracionalidad de la raíz de dos por parte de los pitagóricos  y la crisis que ello desataría en su doctrina, al punto de decidir mantenerlo en secreto junto al otro descubrimiento que no que encajaba en su concepción del universo: el dodecaedro. Es sumamente oportuna la alusión que hace Sagan al significado que tiene la palabra "irrational" que, al igual que "irracional" en español, viene del latín "irrationális", y que alude a lo que carece de raciocinio, que es absurdo, insensato, etc. ¿Pero puede un número ser irracional en este sentido?, es decir: ¿de qué forma un número es absurdo o insensato? 

En la escuela empezamos a medir, lo que no es otra cosa que comparar en base a una unidad de medida. Por lo general empezamos comparando con unidades enteras, es decir, este banco mide 48 cm., el segmento trazado mide 5, etc. etc. Más adelante aprendemos que hay objetos que no pueden medirse con enteros y que por lo tanto debemos partir la unidad de medida en varias partes. Así empezamos a manejar las fracciones que nos permitirán observar que el cuaderno mide 16 y medio cm. de ancho o que su largo mide 22 cm. con 3 milímetros. Una vez que entendemos como funcionan las fracciones, podemos empezar a ver que la medición puede ser todo lo precisa que necesite. Es decir, si mido el ancho de la hoja del cuaderno con mayor precisión tal vez llegue a que de largo no mide 22,3, sino tal vez 22,30251 cm. Esta visión de las cosas nos resulta tan natural que llegamos a asumir por ejemplo que todo es medible en forma exacta. No importa cuan grande o pequeño sea lo que quiero medir, todo tiene alguna medida exacta, aunque para encontrar esa medida exacta tenga que partir la unidad de medida en un millón de veces o más. Esta intuición de lo "medible" con la que salimos de la escuela y atravesamos gran parte del liceo es similar a la idea pitagórica de que con números enteros todo es medible, es decir, comparable por medio de una razón. Sin embargo surgió la gran piedra en el zapato: medir la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Los pitagóricos descubrieron que dicha diagonal es inconmensurable en razón del lado. Pensar que si los lados de ese cuadrado miden exactamente 1, la diagonal en verde no tiene medida posible (en razón del lado) es algo que contradice la intuición y que escapa a nuestra razón como a los números racionales. Es por lo tanto irracional en ese doble sentido, el que en definitiva es el mismo.

Ahora bien, si la unidad la puedo dividir en todas las partes iguales que necesite: ¿cómo descubrieron los pitagóricos que por más que utilice fracciones de unidad cada vez más chicas no voy a poder representar la medida de esa diagonal nunca? No sabemos en detalle cómo llegaron los pitagóricos a esa conclusión, pero sí conocemos hoy muchas formas de demostrarlo. En el siguiente link hay dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2. La primera de ellas es la que adjunta Sagan en su libro: http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

En el siguiente video también podemos ver la demostración. Si bien está en inglés resulta muy fácil de entender ya que para los conceptos principales que se usan los significantes asignados son muy parecidos.

Este episodio de los pitagóricos es quizá el que mejora ilustra una posible coincidencia del proceso histórico de un concepto matemático y el proceso individual que debe hacer un estudiante para incorporar dicho concepto. 

http://www.proyecto2501.com.ar/wp-content/uploads/2012/04/Carl%20Sagan%20-%20Cosmos%20(Random%20House,%20New%20Edition,%201980,%202002).pdf