HISTORIA DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN
(parte 1)

 Preliminary Remarks

“Up to now the history of functionality has remained insufficiently studied. This important subject is actually avoided even by C. Boyer, whose book on the history of the main concepts of the calculus ran into three editions. It goes without sayung that this work, as well as others on the history of mathematics, does contain a number of statements on isolated features of the evolution of the concept of functional dependence and on several scholars’ interpretation of this dependence. While undoubtedly valuable, such statements, even taken together, do not provide the whole picture. In addition, the opinions of various authors often differ from each other; in particular, they do not agree about the time when the concept of function actually originated.”... 

Yushkevich , A. P. 1976. The concept of function up to the middle of the 19th century. Arch. Hist.

Exact. Sci. 16, 37-85

EL PROBLEMA DE LOS ORÍGENES

Una discusión de interés didáctico.

Como sostiene Yushkevich en la cita anterior, no hay acuerdo entre los autores más destacados sobre el origen del concepto de función. Más allá del debate histórico, entendemos que esta discusión tiene un particular interés didáctico. Supongamos por ejemplo que en un curso de segundo año buscamos a través de ejemplos llegar a una definición de función de cuño bourbakiano como la siguiente:

“f es una función de A en B sí y solo sí, f es una relación entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B” [4]

Nada se nos revela allí sobre el devenir histórico del concepto, algo sumamente lógico en tanto las definiciones no están ahí para hablarnos sobre su historia. Pero si nos quedamos sólo con la definición ¿podrán nuestros estudiantes llegar al concepto? Esta pregunta se emparenta con esta otra de carácter histórico: si los antiguos tenían un uso extendido de tablas, ¿podemos decir que manejaban el concepto de función?

Si tomamos el concepto de función como una relación arbitraria entre conjuntos, podemos llegar a pensar que dicho concepto nace con el origen mismo de la Matemática ya que desde los remotos inicios, los seres humanos han establecido correspondencias “funcionales” que han sabido registrar en tablas, algunas de las cuales han llegado a nuestros días. ¿Alcanza entonces el manejo de algún tipo de relación funcional para que consideremos que está presente el germen del concepto? He aquí el problema del origen. Youschkevitech en su trabajo “El concepto de función hasta la primera mitad del siglo XIX”, comienza por atender brevemente a esta discusión, sosteniendo que “las opiniones de diversos autores con frecuencia difieren entre sí; en particular, no se ponen de acuerdo con respecto a la época en que realmente se originó el concepto de función.”[3]  Según E. T. Bell, al que hace referencia Youschkevitech, la respuesta a la pregunta planteada anteriormente sería “los matemático babilonios poseían el instinto de la relación de función.”  Pero frente a esta idea de Bell, Youschkevitech se plantea:

“Hablando en términos generales, cuando uno estudia las matemáticas de las épocas del pasado, con frecuencia no sólo aprecia su importancia para el desarrollo posterior de  esta ciencia (lo cual es necesario hacer), sino que también, y no frecuentemente, amplía de manera no permisible la interpretación de las ideas manifestadas en esas épocas, vinculándolas con las nociones y conceptos modernos, que son muchos más generales. Y lo que en realidad sucede es que, tal como el Fausto de Goethe le hacía observar a su discípulo Wagner, el historiador equipara el espíritu de la época con el reflejo que éste encuentra en su propia mente”

En este sentido el autor es muy cuidadoso a la hora de verse tentado a reconocer el concepto de función en épocas pasadas. Con respecto a los antiguos, Pedersen, otro autor citado en el referido trabajo, en la misma línea que Bell, entiende que “si concebimos a la función, no como una fórmula sino como una relación más general en la que se asocian los elementos de un conjunto de números con los elementos de otro conjunto (como por ejemplo, alguna variable angular en un sistema planetario), resulta obvio que, en este sentido, las funciones abundan en el Almagesto. Lo único que falta es la palabra; pero la cosa, en sí, ahí está, y se encuentra claramente representada por las numerosas tablas de elementos correspondientes de tales conjuntos.”[3] Sin embargo este planteo de Pedersen parecería asumir que los antiguos entendían la relación funcional en las tablas como ejemplos particulares de un concepto más general. En este sentido Youschkevitech responde:

“Existe un buen trecho entre el instinto de la relación funcional (Bell) y la percepción de esta relación; y lo mismo se puede decir por lo que toca a las funciones particulares y al  surgimiento del concepto de función con algún grado de generalidad. La utilización de la forma singular (la cosa en sí, es decir, la relación funcional representada por diversas tablas) por parte de Pedersen en relación con el Almagesto me parece incorrecta, en el sentido de que permite que el párrafo entero sea interpretado como si quisiera implicar que las funciones correspondientes a esas tablas hubieran sido consideradas como ejemplos particulares de una relación funcional en general.”

Es muy tentador hallar una similitud entre la correspondencia encontrada en las tablas antiguas y la relación entre pares de elementos en la definición de función como subconjunto del producto cartesiano. De la misma forma, en un curso introductorio de Secundaria, podemos creer que ponderando la definición actual los estudiantes accederán directamente al concepto de función. Hay cierto “parecido conceptual” entre el registro tabular característico de los antiguos y el diagrama de Venn, como si el origen y la actualidad estuvieran muy cercanos. ¿Qué es entonces lo que nos estaría faltando entre el comienzo y el final, lo que dividiría las aguas en el origen del manejo del concepto?  Youschkevitch tal vez nos de una pista a esta pregunta cuando plantea que: “en cualquier caso, el pensamiento de los matemáticos griegos, tomado en general, se hallaba muy, pero muy alejado del concepto cinemático de cantidad fluyente, que fue característico del cálculo infinitesimal de los siglos XVII, XVIII y XIX.”[3] . En otro pasaje va incluso más lejos sosteniendo que la idea de cambio les era ajena. Lo que nos está faltando para el concepto es la idea de variación en tanto cuantificación del cambio para acceder a la idea de relación funcional entre variables.

A partir de los trabajos de los Calculatores de Merton Collage, de la Universidad de Oxford hacia el siglo XIII, los que luego serán retomados por Oresme, se comienza a estudiar la variación. Variación entendida como cualidad y cuantificación del cambio según la distinción que hace Cantoral en su ponencia “Sociepistemología de la predicción”. En el estudio de la variación, como veremos en siguientes entradas, se da el salto cognitivo, y se manifiesta la vinculación del desarrollo del concepto de función con una visión mecánica del mundo.