HISTORIA DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN
(parte 1)
Preliminary Remarks
“Up to now the history of
functionality has remained insufficiently studied. This important subject is
actually avoided even by C. Boyer, whose book on the history of the main
concepts of the calculus ran into three editions. It goes without sayung that this
work, as well as others on the history of mathematics, does contain a number of
statements on isolated features of the evolution of the concept of functional dependence
and on several scholars’ interpretation of this dependence. While undoubtedly
valuable, such statements, even taken together, do not provide the whole
picture. In addition, the opinions of various authors often differ from each
other; in particular, they do not agree about the time when the concept of
function actually originated.”...
Yushkevich ,
A. P. 1976. The concept of function up to the middle of the 19th century. Arch. Hist.
Exact. Sci. 16, 37-85
EL PROBLEMA DE LOS ORÍGENES
Una discusión de interés
didáctico.
Como sostiene Yushkevich en la cita anterior, no hay acuerdo entre los autores más destacados sobre el origen del concepto de función. Más allá del
debate histórico, entendemos que esta discusión tiene un particular interés
didáctico. Supongamos por ejemplo que en un curso de segundo año buscamos a
través de ejemplos llegar a una definición de función de cuño bourbakiano como
la siguiente:
“f es una función de A en B sí y solo sí, f es una relación entre A y B
tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B” [4]
Nada se nos revela allí
sobre el devenir histórico del concepto, algo sumamente lógico en tanto las
definiciones no están ahí para hablarnos sobre su historia. Pero si nos
quedamos sólo con la definición ¿podrán
nuestros estudiantes llegar al concepto? Esta pregunta se emparenta con
esta otra de carácter histórico: si los
antiguos tenían un uso extendido de tablas, ¿podemos decir que manejaban el
concepto de función?
Si
tomamos el concepto de función como una relación arbitraria entre conjuntos,
podemos llegar a pensar que dicho concepto nace con el origen mismo de la
Matemática ya que desde los remotos inicios, los seres humanos han establecido
correspondencias “funcionales” que han sabido registrar en tablas, algunas de
las cuales han llegado a nuestros días. ¿Alcanza entonces el manejo de algún
tipo de relación funcional para que consideremos que está presente el germen
del concepto? He aquí el problema del origen. Youschkevitech en su trabajo “El concepto de función hasta la primera
mitad del siglo XIX”, comienza por atender brevemente a esta discusión,
sosteniendo que “las opiniones de diversos
autores con frecuencia difieren entre sí; en particular, no se ponen de acuerdo
con respecto a la época en que realmente se originó el concepto de función.”[3] Según E. T. Bell, al que hace referencia
Youschkevitech, la respuesta a la pregunta planteada anteriormente sería “los matemático babilonios poseían el
instinto de la relación de función.” Pero frente a esta idea de Bell,
Youschkevitech se plantea:
“Hablando en términos generales, cuando uno estudia
las matemáticas de las épocas del pasado, con frecuencia no sólo aprecia su
importancia para el desarrollo posterior de
esta ciencia (lo cual es necesario hacer), sino que también, y no
frecuentemente, amplía de manera no permisible la interpretación de las ideas
manifestadas en esas épocas, vinculándolas con las nociones y conceptos
modernos, que son muchos más generales. Y lo que en realidad sucede es que, tal
como el Fausto de Goethe le hacía observar a su discípulo Wagner, el
historiador equipara el espíritu de la época con el reflejo que éste encuentra
en su propia mente”
En este sentido el autor es
muy cuidadoso a la hora de verse tentado a reconocer el concepto de función en
épocas pasadas. Con respecto a los antiguos, Pedersen, otro autor citado en el
referido trabajo, en la misma línea que Bell, entiende que “si concebimos a
la función, no como una fórmula sino como una relación más general en la que se
asocian los elementos de un conjunto de números con los elementos de otro
conjunto (como por ejemplo, alguna variable angular en un sistema planetario),
resulta obvio que, en este sentido, las funciones abundan en el Almagesto. Lo
único que falta es la palabra; pero la cosa, en sí, ahí está, y se encuentra
claramente representada por las numerosas tablas de elementos correspondientes
de tales conjuntos.”[3] Sin
embargo este planteo de Pedersen parecería asumir que los antiguos entendían la
relación funcional en las tablas como ejemplos particulares de un concepto más
general. En este sentido Youschkevitech responde:
“Existe un buen trecho entre el instinto de la
relación funcional (Bell) y la percepción de esta relación; y lo mismo se puede
decir por lo que toca a las funciones particulares y al surgimiento del concepto de función con algún
grado de generalidad. La utilización de la forma singular (la cosa en sí, es
decir, la relación funcional representada por diversas tablas) por parte de
Pedersen en relación con el Almagesto me parece incorrecta, en el sentido de
que permite que el párrafo entero sea interpretado como si quisiera implicar
que las funciones correspondientes a esas tablas hubieran sido consideradas
como ejemplos particulares de una relación funcional en general.”
Es muy
tentador hallar una similitud entre la correspondencia encontrada en las tablas
antiguas y la relación entre pares de elementos en la definición de función
como subconjunto del producto cartesiano. De la misma forma, en un curso
introductorio de Secundaria, podemos creer que ponderando la definición actual
los estudiantes accederán directamente al concepto de función. Hay cierto
“parecido conceptual” entre el registro tabular característico de los antiguos
y el diagrama de Venn, como si el origen y la actualidad estuvieran muy
cercanos. ¿Qué es entonces lo que nos estaría faltando entre el comienzo y el final,
lo que dividiría las aguas en el origen del manejo del concepto? Youschkevitch tal vez nos de una pista a esta
pregunta cuando plantea que: “en cualquier caso, el pensamiento de los
matemáticos griegos, tomado en general, se hallaba muy, pero muy alejado del
concepto cinemático de cantidad fluyente, que fue característico del cálculo
infinitesimal de los siglos XVII, XVIII y XIX.”[3] . En otro pasaje va incluso más lejos sosteniendo que la
idea de cambio les era ajena. Lo que nos está faltando para el concepto es la
idea de variación en tanto cuantificación del cambio para acceder a la idea de
relación funcional entre variables.
A partir
de los trabajos de los Calculatores de Merton Collage, de la Universidad de
Oxford hacia el siglo XIII, los que luego serán retomados por Oresme, se
comienza a estudiar la variación. Variación entendida como cualidad y
cuantificación del cambio según la distinción que hace Cantoral en su ponencia
“Sociepistemología de la predicción”. En el estudio de la variación, como
veremos en siguientes entradas, se da el salto cognitivo, y se manifiesta la vinculación del
desarrollo del concepto de función con una visión mecánica del mundo.
